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5.真空中的静电场

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Ch5

真空中的静电场 ——题解

大学物理学练*题题解
? 2? 0

一、选择题 1、C 2、C 5、A

(1) x ? 0, E ?
3、D

; (2) x ? 0, E ? ? 2? . ?
0

4、D

方法一:高斯定理(作同心球面为高斯 面)方法二:场强迭加原理(记均匀带 电球面在球外任意一点产生的场强)

6、D 作辅助的正方体曲面,将电荷围在其正中心。

1 a 2

q

7、B

U p ? ? 0dr ? ?
r

R

?

R

1 dr 2 4?? 0 r

Q

8、C Z

9、C

Q1 ? Q2 R1 ? r ? R2 , E1 ? ; r ? R2 , E2 ? . 2 2 4?? 0 r 4?? 0 r Q1

U p ? ? E1dr ? ? E2 dr
r R2

R2

?

10、B

Up ? ?

R

r

1 dr 2 4?? 0 r

q

11、C 12、D

AMN ? ??EP ? ?(WN ? WM ) ? 0
13、D 14、D

二、填空题

1、

2? ? ? E1 ? ? ? ,向右 2? 0 2? 0 2? 0 2? ? 3? E2 ? ? ? ,向右 2? 0 2? 0 2? 0 2? ? ? E3 ? ? ? ,向左 2? 0 2? 0 2? 0

??

? 2?







2、

??

Q

?0

,Ea ? 0,

? 1 Q Q ? 5Q ?? Eb ? ( 2 ? 2 )r0 ? r 2 0 4?? 0 R 9 R 18?? 0 R

3、

? ? A ? B E0 2 ? ? ? ? 2? ?? A ? ? 3 ? 0 E0 3 ? 0 2? 0 ? ?? ? ??B ? ?A ? E ?? ? 4 ? E 0 ? B 3 0 0 ? 2? 0 2? 0 ? ?
A
?A

B
?B

E0/3

E0

E0/3

4、

E?

1 4?? 0

Q ?S 2 Q?S 4?R ? R2 16? 2? 0 R 4

R O

方向为由圆心O指向?S的中心

? E

?S

5、 6、

?R E
2

q 2 ? q4

?0

; q1、q2、q3、q4

7、 0 8、

U?

? ?r

Q 4?? 0 r

dr ? 2

Q 4?? 0 r

9、

r ? r1 ? E ? 0

q1 r1 ? r ? r2 ? E ? 2 4?? 0 r 1 q1 ? q2 r ? r2 ? E ? 2 4?? 0 r 1
(1)该点在内球内,即rp ? r1时
U p ? ? 0dr ? ?
rp r1 r2 r1 ? q1 1 q1 ? q2 dr ? ? dr 2 2 r2 4?? 4?? 0 r r 0

1

?0

(2)该点在内外球间,即r1 ? rp ? r2时
Up ? ?
r2 rp ? q1 1 q1 ? q2 dr ? ? dr 2 2 r2 4?? 4?? 0 r r 0

1

q1 ? q2 1 1 1 ? ( ? )? 4?? 0 rp r2 4?? 0 r2 q1
令U p ? 0,解得:

rp ? 10cm

10、

? E ? dl ? 0, ?
l

单位正电荷在静电场中沿任意闭合路径运动一周,电场力作功为0 有势场(或保守力场)

11、

Qq Aad ? 0, Ad ? ? q(U d ? U ? ) ? 4?? 0 R

12、

dU 2 Ax dU Ex ? ? ?? 2 , Ez ? ? ?0 2 dx dz x ?y

13、

M ? qElSin? M ? P ? ql ? ESin?

l

+ ?

? E

14、

? ? A ? A ? ?E k 电 ? 重 Q Q ? ,U o ? ?U A ? 4?? 0 R 4?? 0 2 R ? ? 1 ? mgR ? qU A ? qU o ? m? 2 ? 2

A

m,q

O

R

Qq 2 ? ? ? 2 gR ? ( ? 1) 2?? 0 mR 2

三、计算题

1:真空中一长度为L的均匀带电细直杆,总电量 为q。试求在直杆延长线距离杆的一端为d的P点 的电场强度。
o
dq( x, 0)
L
d

x
L?d ?x

P

解:沿直杆建立坐标系Ox且左端点为原点,设 ?? 为线电荷密度,则:

dE ?
l

1

?dx
dx 1 ?l ?0 (l ? d ? x)2 ? 4?? 0 d (l ? d )
l

4?? 0 (l ? d ? x) 2

? E ? ? dE ? 0 4?? 0

q ? 4?? 0 d (l ? d )
方向沿x轴正方向

1

2: 一电荷面密度为 ?的“无限大”*面,在 距离*面a米远处一点的场强大小的一半是由*面 上的一个半径为R的圆面积范围内的电荷产生的。 试求该圆半径的大小。

o
R

?? E

a

P

解:圆盘在其轴线上P点场强:

? x EP ? (1 ? ) 2? 0 x2 ? R2
无限大带电*面于P点场强:

x?a

? EP ' ? 2? 0
由题意:

1 EP ? EP ' 2

联立以上方程解得:

R ? 3a

3、一“无限长”的均匀带电的半圆柱面,半径为 R 设半圆柱面沿轴线单位长度上的电量为 ? 试求轴线上一点的电场强度。

解:设坐标系如图所示。将半圆柱面划分成许多 窄条。dl宽的窄条的电荷线密度为
Y

? ? d? ? dl ? d? ?R ?

dl

R
d?

?

dEx dE

O? dEy

X

取 ? 位置处的一条。它在轴线上的一点产生的场强为

? dE ? ? d? 2 2?? 0 R 2? ? 0 R

d?

方向如图所示
它的在X、Y轴上的二个分量为:
dl R
d?

Y
?

dEx ? dE sin ? , dEy ? ?dE cos?
对各分量分别积分

dEx
dE

O? dEy

X

? ? ? Ex ? 2 ?0 sin ?d? ? ? 2? 0 R 2? ? 0 R

Ey ?

?? 2? ? 0
2

R?

?

0

cos?d? ? 0

场强 E ? E x i ? E y

? j ? i 2 ? ?0R

4、图中虚线所示为一立方形的高斯面,已知空间的 场强分布为: x ? bx ,E y ? 0 , z ? 0,高斯面边长 E E a ? 0.1 m,常数 b ? 1000 N/C.m。 试求该闭合面中包含的净电荷。

解:设闭合面内包含净电荷的电量为Q。因场强只 有X分量不为零,故只是二个垂直于X轴的*面电 通量不为零。由高斯定理得:

? E1S1 ? E2 S 2 ? Q / ? 0


(S1=S2=S)

Q ? ? 0 S ( E2 ? E1 ) ? ? 0 Sb( X 2 ? X 1 ) ? ? 0ba (2a ? a ) ? ? 0ba
2 3

? 8.85 ? 10

?12

C

5、一半径为 R 的带电球体,其电荷体密度分布为:
qr ? ? 4 ( r ? R )( ?R

q 为一正常数)

? ? 0 ( r ? R)
试求: (1)带电球体的总电量; (2)球内、外各点的电场强度; (3)球内、外各点的电势。

解(1)在半球内取半径为r、厚为d r的薄球壳, 该壳内所包含的电量为

dq ? ?dV ? qr ? 4?r dr /(?R )
2 4

? 4qr dr / R
3

4

则球体所带的总电量为

Q ? ? ?dV ? (4q / R )? r dr ? q
4 3 v 0

?

(2)在球内作一半径为r1的高斯球面,按高斯定理有

4?r E1 ?
2 1

1

?0
qr

?

r1

0

qr qr 2 ? 4?r dr ? 4 ?R ?0R

4 1 4

得E1 ?

4?? 0 R

2 1

4

(r1 ? R), E1方向沿半径向外。

在球体外作半径为r2的高斯球面,按高斯定理有

4?r E 2 ? q ? 0
2 2

得E 2 ?

q 4?? r
2 0 2

(r2 ? R), E2方向沿半径向外。

(3)球内电势

U 1 ? ? E1 ? d r ? ? E2 ? d r
r1 R

R

?

?? ?

R

qr q

2 4

r2

4?? 0 R ?

dr ? ? qr
3 1

?

q 4?? 0 r
2

R

dr

3?? 0 R q

12?? 0 R
3 1 3

4

r ? (4 ? ) 12?? 0 R R

(r1 ? R )

球外电势

q U 2 ? ? E2 ? d r ? ? dr r2 r2 4?? r 2 0 q ? 4?? 0 r2

?

?

(r2 ? R)




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