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高考数学二轮复*(浙江专用)训练:专题五 解析几何 第1讲 Word版含解析

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一、选择题

1.已知圆 C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆 C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M、N 分别是 圆 C1、C2 上的动点,P 为 x 轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为( )

A.5 3-4

B.5 2-4

C.5 3-3

D.5 2-3

解析 由条件可知,两圆的圆心均在第一象限,先求|PC1|+|PC2|的最小值,作

点 C1 关于 x 轴的对称点 C1′(2,-3),则(|PC1|+|PC2|)min=|C1′C2|=5 2.所以(|PM|

+|PN|)min=5 2-4.

答案 B 2.(2015·全国Ⅰ卷)已知 M(x0,y0)是双曲线 C:x22-y2=1 上的一点,F1,F2 是 C

的两个焦点,若M→F1·M→F2<0,则 y0 的取值范围是( )

A.???- 33, 33???

B.???- 63, 63???

C.???-23 2,2 3 2???

D.???-2 3 3,23 3???

解析 由题意知 M 在双曲线 C:x22-y2=1 上,又在 x2+y2=3 内部,由

??x22-y2=1,得 ?x2+y2=3,

y=± 33,所以-

3 3 <y0<

3 3.

答案 A 3.(2016·湖州市高三测试)已知椭圆 E:ax22+by22=1(a>b>0)的右焦点为 F(3,0),

过点 F 的直线交 E 于 A,B 两点.若 AB 的中点坐标为(1,-1),则 E 的方程为

() A.4x52 +3y62 =1 C.2x72 +1y82 =1

B.3x62 +2y72 =1 D.1x82 +y92=1

解析 因为直线 AB 过点 F(3,0)和点(1,-1),所以直线 AB 的方程为 y=12(x

x2 y2 -3),代入椭圆方程a2+b2=1

消去

y,得???a42+b2???x2-32a2x+94a2-a2b2=0,所



AB

32a2 的中点的横坐标为2???a42+b2???=1,即

a2=2b2,又

a2=b2+c2,所以

b=c

=3,选 D.

答案 D

4.(2016·四川卷)设 O 为坐标原点,P 是以 F 为焦点的抛物线 y2=2px(p>0)上任

意一点,M 是线段 PF 上的点,且|PM|=2|MF|,则直线 OM 的斜率的最大值 为( )

3

2

A. 3

B.3

2

C. 2

D.1

解析如图,由题可知 F???p2,0???,设 P 点坐标为???2yp20 ,y0???,显然,

当 y0<0 时,kOM<0;y0>0 时,kOM>0,要求 kOM 最大值,不妨

设 y0>0.则O→M=O→F+F→M=O→F+13F→P=O→F+13(O→P-O→F)=13

y0

O→P+23O→F=???6yp02 +p3,y30???,kOM=6yp20 3+p3=yp0+2 2yp0 ≤2

2

= 2

22,当且仅当

y02=2p2

等号成立.故选 C.
答案 C 5.如图,F1,F2 分别是双曲线 C:ax22-by22=1(a,b>0)的
左、右焦点,B 是虚轴的端点,直线 F1B 与 C 的两条

渐*线分别交于 P,Q 两点,线段 PQ 的垂直*分线与 x 轴交于点 M.若|MF2| =|F1F2|,则 C 的离心率是( )

23 A. 3

6 B. 2

C. 2

D. 3

解析 不妨设 c=1,则直线 PQ:y=bx+b,两渐*线为 y=±bax,

因此有交点 P???-a+a 1,a+b 1???,Q???1-a a,1-b a???,设 PQ 的中点为 N,则点 N 的 坐标为???1-a2a2,1-b a2???,

因为线段 PQ 的垂直*分线与 x 轴交于点 M,|MF2|=|F1F2|,

所以点 M 的坐标为(3,0),

1-b a2-0

1

因此有 kMN= a2

=-b,

1-a2-3

所以 3-4a2=b2=1-a2,

所以

a2=23,所以

e=

6 2.

答案 B 二、填空题

6.(2015·浙江卷)已知实数 x,y 满足 x2+y2≤1,则|2x+y-4|+|6-x-3y|的最大

值是________. 解析 因为实数 x,y 满足 x2+y2≤1,则 2x+y-4<0,6-x-3y>0,所以|2x

+y-4|+|6-x-3y|=4-2x-y+6-x-3y=-3x-4y+10.令 z=-3x-4y+ 10,则 3x+4y-10+z=0.当直线 3x+4y-10+z=0 与圆 x2+y2=1 相切时,z

|z-10| 取最值,故 5 =1,∴z=5 或 z=15, ∴|2x+y-4|+|6-x-3y|的最大值为 15. 答案 15

7.(2016·浙江卷)设双曲线 x2-y32=1 的左、右焦点分别为 F1,F2,若点 P 在双 曲线上,且△F1PF2 为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是________. 解析 如图,由已知可得 a=1,b= 3,c=2,从而|F1F2|

=4,由对称性不妨设 P 在右支上,

设|PF2|=m,则|PF1|=m+2a=m+2,

由于△PF1F2 为锐角三角形,

??(m+2)2<m2+42,

结合实际意义需满足?

解得-1+

??42<(m+2)2+m2,

7<m<3,又|PF1|+

|PF2|=2m+2,

∴2 7<2m+2<8.
答案 (2 7,8) 8.(2016·深圳第二次调研)过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F,且倾斜角为π4 的直
线与抛物线交于 A,B 两点,若弦 AB 的垂直*分线经过点(0,2),则 p 等于 ________. 解析 由题意知直线 AB 的方程为 y=x-p2,

垂直线*分线方程为 y=-x+2,

联立上面两直线方程得 y=1-p4,x=1+p4, 即 AB 的中点坐标为???1+p4,1-p4???,

设 A???2yp12 ,y1???,B???2yp22 ,y2???,则2yyp222--y2y1p21 =y12+py2,

∴1-p4=p,∴p=45.

答案

4 5

三、解答题

9.(2015·全国Ⅰ卷)已知过点 A(0,1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C:(x-2)2+(y-

3)2=1 交于 M,N 两点.

(1)求 k 的取值范围;

(2)若O→M·O→N=12,其中 O 为坐标原点,求|MN|.

解 (1)由题设,可知直线 l 的方程为 y=kx+1,

因为 l 与 C 交于两点,所以|2k-1+3+k21|<1.

解得4-3

7 4+ <k< 3

7 .

所以 k 的取值范围为???4-3 7,4+3 7???. (2)设 M(x1,y1),N(x2,y2). 将 y=kx+1 代入方程(x-2)2+(y-3)2=1,整理得 (1+k2)x2-4(1+k)x+7=0.

所以 x1+x2=4(11++kk2),x1x2=1+7 k2.

O→M·O→N=x1x2+y1y2 =(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=4k(1+1+k2k)+8.

由题设可得4k(1+1+k2k)+8=12,解得 k=1,所以 l 的方程为 y=x+1. 故圆心 C 在 l 上,所以|MN|=2. 10.(2014·全国Ⅱ卷)设 F1,F2 分别是椭圆 C:ax22+by22=1(a>b>0)的左,右焦点,
M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直,直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N. (1)若直线 MN 的斜率为34,求 C 的离心率; (2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且|MN|=5|F1N|,求 a,b. 解 (1)根据 c= a2-b2及题设知 M???c,ba2???,2b2=3ac. 将 b2=a2-c2 代入 2b2=3ac,解得ac=12,ac=-2(舍去).故 C 的离心率为12. (2)由题意,原点 O 为 F1F2 的中点,MF2∥y 轴,所以直线 MF1 与 y 轴的交点 D(0,2)是线段 MF1 的中点,故ba2=4,即 b2=4a.① 由|MN|=5|F1N|,得|DF1|=2|F1N|. 设 N(x1,y1),由题意知 y1<0,则 ???2-(2-y1=c-2,x1)=c,即?????xy11==--321c. . 代入 C 的方程,得49ac22+b12=1.② 将①及 c= a2-b2代入②得9(a24-a24a)+41a=1. 解得 a=7,b2=4a=28,故 a=7,b= 2 7. 11.已知椭圆 E:ax22+by22=1(a>b>0)的半焦距为 c,原点 O 到经过两点(c,0), (0,b)的直线的距离为12c. (1)求椭圆 E 的离心率; (2)如图,AB 是圆 M:(x+2)2+(y-1)2=52的一条直径,若 椭圆 E 经过 A,B 两点,求椭圆 E 的方程. 解 (1)过点(c,0),(0,b)的直线方程为 bx+cy-bc=0,

则原点 O 到该直线的距离 d= bb2+c c2=bac,

由 d=12c,得 a=2b=2

a2-c2,解得离心率ac=

3 2.

(2)法一 由(1)知,椭圆 E 的方程为 x2+4y2=4b2.①

依题意,圆心 M(-2,1)是线段 AB 的中点,且|AB|= 10. 易知,AB 与 x 轴不垂直,设其方程为 y=k(x+2)+1,代入①得(1+4k2)x2+8k(2k +1)x+4(2k+1)2-4b2=0,

设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=-8k(1+2k4+k21),

x1x2=4(2k1++14)k22-4b2,

由 x1+x2=-4,得-8k(1+2k4+k21)=-4,解得 k=12,

从而 x1x2=8-2b2.

于是|AB|= 1+???12???2|x1-x2|



5 2

(x1+x2)2-4x1x2=

10(b2-2),

由|AB|= 10,得 10(b2-2)= 10,解得 b2=3, 故椭圆 E 的方程为1x22 +y32=1.

法二 由(1)知,椭圆 E 的方程为 x2+4y2=4b2,②

依题意,点 A,B 关于圆心 M(-2,1)对称,且|AB|= 10,设 A(x1,y1),B(x2, y2),则 x21+4y21=4b2,x22+4y22=4b2,两式相减并结合 x1+x2=-4,y1+y2=2, 得-4(x1-x2)+8(y1-y2)=0, 易知 AB 与 x 轴不垂直,则 x1≠x2, 所以 AB 的斜率 kAB=xy11--xy22=12,

因此直线 AB 的方程为 y=12(x+2)+1,

代入②得 x2+4x+8-2b2=0, 所以 x1+x2=-4,x1x2=8-2b2,

于是|AB|=

1+???12???2|x1-x2|



5 2

(x1+x2)2-4x1x2=

10(b2-2).

由|AB|= 10,得 10(b2-2)= 10,解得 b2=3, 故椭圆 E 的方程为1x22 +y32=1.




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