当前位置: 首页 > >

信号与系统第七章*题课7

发布时间:

第七章 1.试用时域经典法求解差分方程。

*题

(1) y(n + 1) + 2 y(n) = (n 1)u(n) ,边界条件 y(0) = 1 ; (2) y(n + 2) + 2 y(n + 1) + y(n) = 3n + 2 u (n) ,边界条件 y(1) = 0 , y(0) = 0 ; (3) y(n + 1) 2 y(n) = 4u (n) ,边界条件 y(0) = 0 。 解: (1) α = 2 ,设 y (n) = A(2) n + Bn + C ;将 Bn + C 带入方程得
1 B = 3 13 3Bn + B + 3C = n 1 ,由 y(0) = 1 得 A + C = 1 A = ; 9 C = 4 9
1 4 13 y (n) = ( 2) n + n u ( n) 3 9 9

(2) α1,2 = 1 , y (n) = ( An + B)(1)n + 3n C ,将 3n C 带入方程得
C 3 A B + 3 = 0 A = 4 9 C = , y (1) = 0 ,y (0) = 0 得 由 16 B = C = 9 B = 9 16 16

3n + 2 C + 2C 3n +1 + 3n C = 3n + 2

所以 y (n) = ( 3 n
4

9 9 )( 1) n + i3n u (n) 16 16

(3)α = 2 , y (n) = A(2) n + C ,将 C 带入方程得 C = 4 , y (n) = A(2)n 4 ,由 y(0) = 0 得
A = 4 ,所以 y (n) = 4 (2) n 1 u (n)

2.求下列差分方程所描述的离散时间系统的零输入响应。 (1) y(n + 2) y(n + 1) y(n) = 0 , y zi (0) = 0,
y zi (1) = 1 ; y zi (1) = 2,

(2) y(n + 3) + 3 y(n + 2) 4 y(n) = 0 , y zi (0) = 1, 解:α α 1 = 0 α1,2
2

y zi (2) = 0 。
n n

1+ 5 1 5 1± 5 = ,设 yzi (n) = A + B 2 2 ,由 y zi (0) = 0, y zi (1) = 1 2

1 n n A + B = 0 A = 5 1 1+ 5 1 1 5 得 1+ 5 ,所以 yzi (n) = 1 5 5 2 5 2 +B = 1 B = 1 A 2 2 5

3.求下列各组序列的卷积和。
1

1 1, 0 ≤ n ≤ 4 , 0≤n≤5 (1) x1 (n) = , x2 (n) = 2 ; 其它 0, 0, 其它 n, 0 ≤ n ≤ 7 2, 0 ≤ n ≤ 5 n = 8 , x2 (n) = (2) x1 (n) = 7, 。 其它 0, 0, 其它

解:利用卷积的对位相乘求和法求解。
1 1 1 1 1 1 (1) x1 (n) * x2 (n) = 1,1,1,1,1 * , , , , , ↑ 2 2 2 2 2 2 ↑

{

}

x2 (n) : x1 (n) :

1 2


1 2

1 2


1 2

1 2

1 2

1 1 1 1 1

1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2
1 2 1 3 2

1 2 1 2 1 2 1 2
2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2

1 1 2 2 1 1 2 2 1 2

1 2

5 2 2 1 3 5 5 3 1 所以 x1 (n) * x2 (n) = , 1, , 2, , , 2, , 1, 2 2 2 2 2 2 ↑

3 2

1

1 2

(2)同理求出结果为: x1 (n) * x2 (n) = {0, 2, 6, 12, 20, 30, 42, 54, 64, 58, 60, 50, 40, 28, 14} ↑ 4.已知序列 x(n) = u (n 2) u (n 6) ,试求: (1) x(n) x(n) ; (2) x(n) x(n) 。 解: (1) x(n) x(n) = {0,0,0,0,1, 2,3, 4,3, 2,1} ↑ (2) x(n) x(n) = {1, 2, 3, 4, 3, 2, 1} ↑ 5.已知 x1 (n) = {1,1, 2} 和 x1 (n) x2 (n) = {1, 1,3, 1,6} ,试求 x2 (n) 。 ↑ ↑ 解: x2 (n) = [ x1 (n) x2 (n) ∑ x2 (m) x1 (n m)]/ x1 (0)
m=0 n 1

2

x2 (0) = 1 ; x2 (1) = (1 1) /1 = 2 ; x2 (2) = (3 2 + 2) /1 = 3

所以 x2 (n) = {1, 2, 3} ↑ 6.求下列各差分方程所描述离散时间系统单位样值响应。 (1) y(n) + y (n 2) = x(n 2) ; (2) y(n) 7 y(n 1) + 6 y(n 2) = 6 x(n) ; (3) y ( n ) = b0 x( n ) + b1 x( n 1) + ... + bm x( n m) 。 解: (1) α1,2 = ± j = e 所以
±j

π
2

,设齐次解为 h(n) = A cos nπ
2

+ B sin

nπ 2

, y (1) = 0; y(2) = 1

B = 0 , h(n) = cos nπ u (n 2) 。 2 A = 1

(2) α 2 7α + 6 = 0 α1 = 1,α 2 = 6 ,设齐次解为 h(n) = A + B6n , y (1) = 0; y(0) = 6 得出
36 B B = 5 A+ = 0 ,所以 h(n) = 6 + 36 6n = 6 (6n +1 1)u(n) 6 5 5 5 A+ B = 6 A = 6 5

(3) h(n) = b0δ (n) + b1δ (n 1) + ... + bmδ (n m) = ∑ bnδ (n k )
k =0

m

7.画出下列各序列的图形。 (1) x1 (n) = nu(n + 2) ; (3) x3 (n ) =
n + 2 n ≥ 0 3 2
n

(2) x2 (n) = (2 n + 1)u(n + 1) ; ; (4) x4 (n) = x2 (n) + x3 (n) = 9 δ (n + 1) + (2 n + n + 3)u (n) ;
2 2

n<0

(5) x5 (n ) = x1 (n ) x3 (n ) = n ( n + 2)u (n ) 3 [δ ( n + 2) + δ ( n + 1)] ; (6) x6 (n) = x1 (2 n) = (2 n)u(4 n) 。 8.设 x1 (n) 和 x2 (n) 是周期分别为 N1 和 N 2 的周期序列。在何条件下 x(n) = x1 (n) + x2 (n ) 为 周期序列。如果是,其周期是多少? 解: x(n + N ) = x1 (n + N ) + x2 (n + N ) ,当 N = mN1 = kN2 时,
x(n + N ) = x1 ( n + mN1 ) + x2 (n + kN 2 ) = x1 (n) + x2 ( n) = x(n) ,周期为 N 1 , N 2 的最小公倍数。

9.确定下面每个信号是否为周期信号。若是,确定其周期。
nπ nπ (2) x(n) = cos n ; (4) x(n) = cos2 nπ ; (1) x(n) = e 4 ; (3) x ( n ) = cos + sin ;
j n

π

4

3

4

8

3

(5) x(n) = cos n cos nπ 。
2 8

解: (1)是周期信号, T = (2)



π

= 8;

2π = 8π ,非周期信号; 1 4

4

(3)是周期信号,周期为 6 和 8 的最小公倍数:24; (4) x(n) = cos2 nπ = 1 + 1 cos nπ ,是周期信号,周期为 8;
8 2 2 4

(5)非周期信号。 10.判断下列信号是否为能量信号或功率信号,或者都不是? (1) x(n) = u(n ) ; (2) x(n) = ( 0.5)n u(n) ; (3) x(n) = 2e j3n u(n) 。 解: (1)功率信号;


P = lim
2

1 N →∞ N

∑ x ( n)
n=0

N

2

=1

(2)能量信号; E = ∑ x(n) = ∑ 1 = 1 1 = 4 3 n=0 n=0 4 1 4 N N 2 (3)功率信号; P = N →∞ 1 ∑ x(n) 2 = N →∞ 1 ∑ 2e j3n = N →∞ 4 lim lim lim N n=0 N n=0 N



n

∑1 = 4
n=0

N

11.判断下列两个系统的无记忆性、因果性、线性、时不变性和稳定性,其中 k0 为正整数。 (1) y (n) = T[ x(n)] = nx(n ) ; (2) y (n) = T[ x(n)] = x(k0n ) 。 解: (1)无记忆、因果、线性、时变、不稳定; (2)有记忆、非因果、线性、时变、稳定; 12.设 y (n) = T[ x(n)] 为离散时间 LTI 系统,证明 T[ z n ] = λ z n 。其中, z 是复变量, λ 为 复常数。 证明: y (n) = T[ z n ] = h(n) * z n = ∑ h(m)z n m = z n ∑ h(m)z m
m =∞ m =∞ ∞ ∞

= H ( z) z n = λ z n

4

13.画出下列系统的仿真框图。 (1) y (n ) + a1 y (n 1) + a2 y (n 2) = x(n ) ; (2) y (n ) + 2 y (n 1) = x(n ) + 3x(n 1) 。 解: (1)
x(n ) y ( n)


a1

1 E

1 E

a2

(2)
x ( n)

1 E

3 2


1 E

y ( n)

14.证明如果 x(n) 为偶序列,则 ∑ x(n) = x(0) + 2∑ x(n ) 。
n = k n =1

k

k

证明: x(n) = x(n)
n = k



k

x(n) = x(0) + ∑ x(n) +
n =1

k

n = k



1

x(n) = x(0) + ∑ x(n) + ∑ x( n) = x(0) + 2∑ x(n)
n =1 n =1 n =1

k

k

k

15.判断如下单位样值响应对应系统的因果性和稳定性。 (1) h(n) = 2 n u(n + 1) ; (2) h(n) = a n u(n 1) 。 解: (1)非因果;稳定; (2)因果; a < 1 时稳定; a > 1 时不稳定; 16.证明:如果一个离散时间 LTI 系统的输入是周期为 N 的周期序列,则输出 也为周期为 N 的周期序列。 证明:设 y (n) = T[ x(n)] ,则 y (n + N ) = T[ x(n + N )] = T[ x(n)] = y (n) 。

5

17.一个离散时间 LTI 系统的单位样值响应如图 7-2(a)所示,不采用卷积和,求 图 7-2(b)激励下的系统输出。
h (n )

x(n)

1

4 5 6

1
n

4 5
0 1 2 3

0 1 2 3

n

(a) 图 7-2

(b)

解: x(n) = δ (n 2) δ (n 4) 所以 y (n) = h(n 2) h(n 4) 。 18.离散时间 LTI 系统的单位阶跃响应 g (n) = a n u(n) ,求单位样值响应 h(n) 。 解: h(n) = g (n) = a n u (n) a n1u (n 1) = a n [δ (n) + u (n 1)] a n1u (n 1) = δ (n) (1 a)a n 1u (n 1)

6




友情链接: