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2004—2013江苏高考数学试卷(部分含答案)

发布时间:

2010 年江苏高考卷
参考公式:
锥体的体积公式: V锥体 ?

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面面积, h 是高. 3

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分. 请把答案填写在答题卡相应的位置上 . ......... 1. 设集合 A ? ?? 1,1,3?, B ? a ? 2, a 2 ? 4 , A ? B ? ?3? ,则实数 a 的值为 2. 设复数 z 满足 z (2 ? 3i) ? 6 ? 4i (其中 i 为虚数单位) ,则 z 的模为 .

?

?

.

3. 盒子中有大小相同的 3 只白球,1 只黑球,若从中随机地摸出两只球,两只球颜色不同的概率是 . 4. 某棉纺厂为了了解一批棉花的质量,从中随机抽取了 100 根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重 要指标) ,所得数据都在区间[5,40]中,其频率分布直方图如图所示,则其抽样的 100 根中,有 棉花纤维的长度小于 20mm. 5. 设函数 f ( x) ? x(e x ? ae? x )(x ? R) 是偶函数,则实数 a= . 根在

6. *面直角坐标系 xOy 中,双曲线

x2 y2 ? ? 1 上一点 M,点 M 的横坐标 4 12
. (第 4 题图)

是 3,则 M 到双曲线右焦点的距离是

7. 右图是一个算法的流程图,则输出 S 的值是

.

8. 函数 y ? x 2 ( x ? 0) 的图像在点(ak,ak2)处的切线与 x 轴交点的横坐标为 ak+1 ,k 为正 整数,a1 =16,则 a1 +a3 +a5 = .

9. 在*面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x 2 ? y 2 ? 4 上有且仅有四个点到直线

12x ? 5 y ? c ? 0 的距离为 1,则实数 c 的取值范围是
10. 定义在区间 ? 0 ,

.

? ?

??

? 上的函数 y ? 6 cos x 的图像与 y ? 5 tan x 的图像的交点为 P, 2?

过点 P 作 PP1 ⊥ x 轴于点 P1 ,直线 PP1 与 ? sin x 的图像交于点 P2, 则线段 P1 P2 的 长为 .

? 2 11. 已知函数 f ( x) ? ? x ? 1, x ? 0 , 则满足不等式 f (1 ? x2 ) ? f (2 x) 的 x 的范围是 x?0 ?1,
12. 设实数 x , y 满足 3 ? xy ? 8,4 ?
2

(第 7 题图) .

x3 x2 ? 9 ,则 4 的最大值是 y y

.

13. 在锐角三角形 ABC, A、 B、C 的对边分别为 a、b、c,

b a tan C tan C ? ? 6 cos C ,则 ? = a b tan A tan B

.

14. 将边长为 1m 正三角形薄片,沿一条*行于底边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记 S ?

2 (梯形的周长) , 梯形的面积

则 S 的最小值是 . 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字说明、证明或演算步 ....... 骤.
1

15. (本小题满分 14 分) 在*面直角坐标系 xOy 中,点 A(-1, -2)、B(2,3)、C(-2, -1). (1)求以线段 AB、 AC 为邻边的*行四边形两条对角线的长; (2)设实数 t 满足( AB ? t OC )· OC =0,求 t 的值.

16. (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥*面 ABCD,PD=DC=BC=1, AB=2, AB∥DC,∠ BCD=900 . (1)求证:PC⊥ BC; (2)求点 A 到*面 PBC 的距离.

17. (本小题满分 14 分) 某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H(单位: m ) ,如示意图,垂直放置的标杆 BC 的高度 h ? 4m ,仰角 ∠ ABE= ? ,∠ADE= ? . (1)该小组已经测得一组 ? 、 ? 的值,tan ? =1.24,tan ? =1.20,请据此算出 H 的值; (2) 该小组分析若干测得的数据后, 认为适当调整标杆到电视塔的距离 d (单
2

位: , 使 ? 与 ? 之差较大, 可以提高测量精确度. 若电视塔的实际高度为 125 m , 试问 d 为多少时, m) ? -? 最大?

18. (本小题满分 16 分)

x2 y2 ? ? 1 的左右顶点为 A, B,右顶点为 F,设过点 T ( t , m ) 在*面直角坐标系 xoy 中,如图,已知椭圆 9 5
的直线 TA, TB 与椭圆分别交于点 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y 2 ) ,其中 m ? 0 , y1 ? 0, y 2 ? 0 . (1)设动点 P 满足 PF 2 ? PB 2 ? 4 , 求点 P 的轨迹;

1 ,求点 T 的坐标; 3 (3)设 t ? 9 , 求证:直线 MN 必过 x 轴上的一定点. (其坐标与 m 无关)
(2)设 x1 ? 2, x 2 ?

(第 18 题图)

3

19. (本小题满分 16 分) 设各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,已知 2a2 ? a1 ? a3 ,数列 (1)求数列 ?an ?的通项公式(用 n, d 表示) (2) 设 c 为实数, 对满足 m ? n ? 3k且m ? n 的任意正整数 m, n, k , 不等式 S m ? S n ? cSk 都成立, 求证:c 的 最大值为

? S ?是公差为 d 的等差数列.
n

9 . 2

20. (本小题满分 16 分) 设 f ( x) 是定义在区间 (1,??) 上的函数,其导函数为 f ' ( x) . 如果存在实数 a 和函数 h( x) ,其中 h( x) 对任意的

x ? (1,??) 都有 h( x) >0,使得 f ' ( x) ? h( x)(x 2 ? ax ? 1) ,则称函数 f ( x) 具有性质 P (a ) .
(1)设函数 f ( x) ? h( x) ?

b?2 ( x ? 1) ,其中 b 为实数 x ?1

(ⅰ)求证:函数 f ( x) 具有性质 P (b) ; (ⅱ)求函数 f ( x) 的单调区间; ( 2 ) 已 知 函 数 g ( x) 具 有 性 质 P (2) , 给 定 x1 , x2 ? (1,??), x1 ? x2 , 设m为实数, ? ? mx1 ? (1 ? m) x2 ,

? ? (1 ? m) x1 ? mx2 ,且 ? ? 1, ? ? 1 ,若| g (? ) ? g ( ? ) |<| g ( x1 ) ? g ( x2 ) |,求 m 的取值范围.

4

5

6

7

2011 江苏高考数学试卷
参考公式: (1)样本数据 x1 ,x2 ,…,xn 的方差 s =
2

1 n 1 n i 2 ( x ) , 其中 x ? ? xi . n i=1 n i=1

(2)(2)直棱柱的侧面积 S=ch ,其中 c 为底面积,h 为高. (3)棱柱的体积 V= Sh ,其中 S 为底面积,h 为高. 一.填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分,请把答案填写在答题卡的相应位置上。 .......... 1、已知集合 A ? {?1,2,2,4}, B ? {?1,0,2}, 则 A ? B ? _______, 2、函数 f ( x) ? log5 (2 x ? 1) 的单调增区间是__________ 3、设复数 i 满足 i( z ? 1) ? ?3 ? 2i (i 是虚数单位) ,则 z 的实部是_________ 4、根据如图所示的伪代码,当输入 a , b 分别为 2,3 时,最后输出的 m 的值是________ Read If a,b

a>b Then m ?a

Else m ?b End If Print m 5、从 1,2,3,4 这四个数中一次随机取两个数,则其中一个数是另一个的两倍的概率是______ 6、某老师从星期一到星期五收到信件数分别是 10,6,8,5,6,则该组数据的方差 s 2 ? ___ 7、已知 tan( x ?

?
4

) ? 2, 则

tan x 的值为__________ tan 2 x 2 的图象交于 P、Q 两点,则线段 PQ 长的最 x

8、在*面直角坐标系 xOy 中,过坐标原点的一条直线与函数 f ( x) ? 小值是________

9、函数 f ( x) ? A sin(wx ? ? ), ( A, w, ? 是常数, A ? 0, w ? 0) 的部分图象如图所示,则 f (0) ? ____

? 7 ? 3 12
? 2
10、已知 e1 , e 2 是夹角为
? ?
? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? 的两个单位向量, a ? e1 ? 2 e2 , b ? k e1 ? e2 , 若 a ? b ? 0 ,则 k 的值为 3

11、已知实数 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ?

?2 x ? a, x ? 1 ,若 f (1 ? a) ? f (1 ? a) ,则 a 的值为________ ?? x ? 2a, x ? 1
x

12、在*面直角坐标系 xOy 中,已知点 P 是函数 f ( x) ? e ( x ? 0) 的图象上的动点,该图象在 P 处的切线 l 交 y 轴于点 M,过点 P 作 l 的垂线交 y 轴于点 N,设线段 MN 的中点的纵坐标为 t,则 t 的最大值是_____________ 13、设 1 ? a1 ? a2 ? ? ? a7 ,其中 a1 , a3 , a5 , a7 成公比为 q 的等比数列, a 2 , a 4 , a6 成公差为 1 的等差数列,则 q
8

的最小值是________ 14、设集合 A ? {( x, y ) |

m ? ( x ? 2) 2 ? y 2 ? m 2 , x, y ? R} , 2

B ? {( x, y) | 2m ? x ? y ? 2m ? 1, x, y ? R} , 若 A ? B ? ? , 则实数 m 的取值范围是______________
二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程活盐 酸步骤。 P 15、在△ABC 中,角 A、 B、C 所对应的边为 a, b, c (1)若 sin( A ?

) ? 2 cos A, 求 A 的值; 6 1 (2)若 cos A ? , b ? 3c ,求 sin C 的值. 3

?

E D A F C B

16、如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,*面 PAD⊥*面 ABCD, AB=AD,∠ BAD=60°, E、F 分别是 AP、AD 的中点 求证: (1)直线 EF‖*面 PCD; (2)*面 BEF⊥*面 PAD

17、请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD 是边长为 60cm 的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰 直角三角形,再沿虚线折起,使得 ABCD 四个点重合于图中的点 P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E、F 在 AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设 AE=FB=xcm (1)若广告商要求包装盒侧面积 S(cm )最大,试问 x 应取何值? (2)若广告商要求包装盒容积 V(cm )最大,试问 x 应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。
3 2

D

C

P

A

x

E

F x

B
9

18、如图,在*面直角坐标系 xOy 中,M、N 分别是椭圆

x2 y2 ? ? 1 的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于 P、A 两 4 2

点,其中 P 在第一象限,过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 C,连接 AC,并延长交椭圆于点 B,设直线 PA 的斜率为 k y (1)当直线 PA *分线段 MN,求 k 的值; (2)当 k=2 时,求点 P 到直线 AB 的距离 d; (3)对任意 k>0,求证:PA⊥PB P B M A N C x

19 、 已 知 a , b 是 实 数, 函 数 f ( x) ? x 3 ? ax, g ( x) ? x 2 ? bx,

f ?( x) 和 g ?( x ) 是 f ( x), g ( x) 的 导 函 数 , 若

f ?( x) g ?( x) ? 0 在区间 I 上恒成立,则称 f ( x) 和 g ( x) 在区间 I 上单调性一致
(1)设 a ? 0 ,若函数 f ( x) 和 g ( x) 在区间 [?1,??) 上单调性一致,求实数 b 的取值范围; (2)设 a ? 0, 且 a ? b ,若函数 f ( x) 和 g ( x) 在以 a,b 为端点的开区间上单调性一致,求|a-b|的最大值

10

20、设 M 为部分正整数组成的集合,数列 {an } 的首项 a1 ? 1 ,前 n 项和为 S n ,已知对任意整数 k 属于 M,当 n>k 时, S n?k ? S n?k ? 2(S n ? S k ) 都成立 (1)设 M={1} , a 2 ? 2 ,求 a5 的值; (2)设 M={3,4} ,求数列{an } 的通项公式

11

12

13

绝密★启用前

2012 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)

数 学Ⅰ
参考公式:
棱锥的体积 V ? Sh ,其中 S 为底面积, h 为高. 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上 . ........ 1.已知集合 A ? {1, 2, 4} , B ? {2 , 4, 6} ,则 A

1 3

B?





2.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 3 : 3 : 4 ,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量 为 50 的样本,则应从高二年级抽取 ▲ 3.设 a , b ? R , a ? bi ? 为 ▲ . ▲ . k 2 -5k +4>0 Y 输出 k 结束 (第 4 题) 7.如图,在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB ? AD ? 3cm , AA1 ? 2cm , D1 则四棱锥 A ? BB1D1D 的体积为 ▲ cm3 . N k ←k +1 名学生. 开始 k ←1 ▲ .

11 ? 7i (i 为虚数单位) ,则 a ? b 的值 1 ? 2i

4.右图是一个算法流程图,则输出的 k 的值是 5.函数 f ( x) ? 1 ? 2log6 x 的定义域为

6.现有 10 个数,它们能构成一个以 1 为首项, ?3 为公比的 等比数列,若从这 10 个数中随机抽取一个数,则它小于 8 的概率是 ▲ .

C1 B1
D B C

A1

8.在*面直角坐标系 xOy 中,若双曲线 为 5 ,则 m 的值为 ▲ .

x2 y2 ? 2 ? 1 的离心率 m m ?4 A

(第 7 题) F C

D 9.如图,在矩形 ABCD 中, AB ? 2 , BC ? 2 ,点 E 为 BC 的中点, 点 F 在边 CD 上,若 AB AF ? 2 ,则 AE BF 的值是 ▲ .

1] 上, 10.设 f ( x) 是定义在 R 上且周期为 2 的函数,在区间[?1,

E

? 1≤ x ? 0 , ? ax ? 1, ? f ( x ) ? ? bx ? 2 b ? R .若 其中 a , , 0 ≤ x ≤ 1, ? ? x ?1
则 a ? 3b 的值为 ▲ .

?1? ?3? f ? ? ? f ? ?, A B ?2? ?2? (第 9 题)

?? 4 ?? ? ? 11.设 ? 为锐角,若 cos ? ? ? ? ? ,则 sin ? 2? ? ? 的值为 ▲ 12 ? 6? 5 ? ?



12.在*面直角坐标系 xOy 中, 圆 C 的方程为 x2 ? y 2 ? 8x ? 15 ? 0 , 若直线 y ? kx ? 2 上至少存在一点,使得以该点为圆 心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大值是 ▲ .

14

13.已知函数 f ( x) ? x2 ? ax ? b(a, ? ?) ,若关于 x 的不等式 f ( x) ? c 的解集为 (m , m ? 6) ,则 b ? R) 的值域为[0 , 实数 c 的值为 ▲ .

14.已知正数 a , b, c 满足: 5c ? 3a ≤ b ≤ 4c ? a , c ln b ≥ a ? c ln c ,则

b 的取值范围是 ▲ . a

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ....... 15. (本小题满分 14 分) 在 ?ABC 中,已知 AB AC ? 3BA BC . (1)求证: tan B ? 3 tan A ; (2)若 cos C ?

5 ,求 A 的值. 5

16. (本小题满分 14 分) 如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, A1B1 ? AC , D, ,且 E 分别是棱 BC , CC1 上的点(点 D 不同于点 C ) 1 1

AD ? DE , F 为 B1C1 的中点.
求证: (1)*面 ADE ? *面 BCC1 B1 ; (2)直线 A1 F // *面 ADE .

A1 B1
F

C1
E

A D B (第 16 题) 17. (本小题满分 14 分)

C

如图,建立*面直角坐标系 xOy,x 轴在*矫嫔希瑈 轴垂直于*矫妫ノ怀ざ任 1 千米.某炮位于坐标原点.已 知炮弹发射后的轨迹在方程 y ? kx ? 弹落地点的横坐标. (1)求炮的最大射程; (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小) ,其飞行高度为 3.2 千米,试问它的横坐标 a 不超过多少时,炮弹可以 击中它?请说明理由. y(千米)

1 (1 ? k 2 ) x2 (k ? 0) 表示的曲线上,其中 k 与发射方向有关.炮的射程是指炮 20

O

(第 17 题)

x(千米)

18. (本小题满分 16 分) 若函数 y ? f ( x ) 在 x=x0 取得极大值或者极小值则 x=x0 是 y ? f ( x ) 的极值点 已知 a,b 是实数,1 和 ?1是函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx 的两个极值点. (1)求 a 和 b 的值;
15

(2)设函数 g ( x) 的导函数 g ?( x) ? f ( x) ? 2 ,求 g ( x) 的极值点; (3)设 h( x) ? f ( f ( x)) ? c ,其中 c ? [?2 , 2] ,求函数 y ? h( x) 的零点个数.

19. (本小题满分 16 分) 如图,在*面直角坐标系 xOy 中,椭圆 和 ?e,

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 (?c , e) 0) , F2 (c , 0) .已知(1 , a 2 b2

? ? ?

3? ? 都在椭圆上,其中 e 为椭圆的离心率. 2 ? ?
A

(1)求椭圆的离心率; (2)设 A ,B 是椭圆上位于 x 轴上方的两点,且直线 AF1 与直线 BF2 *行, AF2 与 BF1 交于点 P .

y B

P

F1

O

F2

x

6 ,求直线 AF1 的斜率; 2 (ii)求证: PF1 ? PF2 是定值.
(i)若 AF1 ? BF2 ?

(第 19 题)

20. (本小题满分 16 分) 已知各项均为正数的两个数列{an } 和 {bn } 满足: an ?1 ?

an ? bn an ? bn
2 2

, n ? N? .

2 ? bn ?? bn ? ? ? ? (1)设 bn ?1 ? 1 ? ,n ? N ,求证:数列 ?? ? ? 是等差数列; an ?? an ? ? ? ? b (2)设 bn ?1 ? 2 ? n ,n ? N? ,且 {an } 是等比数列,求 a1 和 b1 的值. an

16

17

18

19

2013 年普通高等学校统一考试试题(江苏卷)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分。请把答案填写在答题卡相印位置上。 1.函数 y ? 3 sin( 2 x ?

?
4

) 的最小正周期为

. .

2.设 z ? (2 ? i) 2 ( i 为虚数单位) ,则复数 z 的模为

3.双曲线

x2 y2 ? ? 1 的两条渐*线的方程为 16 9
个子集.



4.集合 {?1,0,1} 共有

5.右图是一个算法的流程图,则输出的 n 的值是 运动员 甲 乙 第一次 87 第二次 91 第三次 90 第四次 89

. 如下: 第五次 93

6.抽样统计甲、乙两位设计运动员的 5 此训练成绩(单位:环) ,结果

89 90 91 88 92 则成绩较为 稳定(方 差较小 )的那位 运动员成 绩的方差 为 . 7.现在某类病毒记作 X mYn ,其中正整数 m , n ( m ? 7 , n ? 9 )可 取,则 m,n 都取到奇数的概率为 . 8.如图,在三棱柱 A1 B1C1 ? ABC 中, D,E,F 分别是 以任意选

AB,AC,AA1 的中点,设三棱锥 F ? ADE 的体积为 V1 ,
三棱柱 A1 B1C1 ? ABC 的体积为 V2 ,则 V1 : V2 ? .

9.抛物线 y ? x 2 在 x ? 1 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为 D (包含三角形内部和边界) .若点 P( x, y ) 是区 域 D 内的任意一点,则 x ? 2 y 的取值范围是 .

10.设 D,E 分别是 ?ABC 的边 AB,BC 上的点, AD ?

1 2 AB , BE ? BC , 2 3


若 DE ? ?1 AB ? ?2 AC ( ?1,?2 为实数) ,则 ?1 ? ?2 的值为

2 11 .已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数。当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 4 x ,则不等式 f ( x) ? x 的解集用区间表示





12.在*面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) ,右焦点为 a 2 b2

F ,右准线为 l ,短轴的一个端点为 B ,设原点到直线 BF 的距离为 d1 , F 到 l 的距离为 d 2 ,若 d2 ? 6d1 ,
则椭圆 C 的离心率为 .

13.在*面直角坐标系 xOy 中,设定点 A(a, a ) , P 是函数 y ?
20

1 ( x ? 0 )图象上一动点, x

若点 P,A 之间的最短距离为 2 2 ,则满足条件的实数 a 的所有值为 14.在正项等比数列 {an } 中, a5 ? 最大正整数 n 的值为



1 , a6 ? a7 ? 3 ,则满足 a1 ? a2 ? ? ? an ? a1a2 ?an 的 2


二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演 算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 已知 a= (cos? , sin ? ),b ? (cos? , sin ? ) , 0 ? ? ? ? ? ? . (1)若 | a ? b |? 2 ,求证: a ? b ; (2)设 c ? (0,1) ,若 a ? b ? c ,求 ? , ? 的值.

16. (本小题满分 14 分) 如图,在三棱锥 S ? ABC 中,*面 SAB ? *面 SBC , AB ? BC , AS ? AB ,过 A 作 AF ? SB ,垂足为 F , 点 E,G 分别是棱 SA ,SC 的中点.求证: (1)*面 EFG // *面 ABC ; (2) BC ? SA .

S
E
F

G

A B

C

17. (本小题满分 14 分) 如图,在*面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,3) ,直线 l : y ? 2 x ? 4 . 设圆 C 的半径为 1 ,圆心在 l 上. (1)若圆心 C 也在直线 y ? x ? 1 上,过点 A 作圆 C 的切线, 求切线的方程; (2)若圆 C 上存在点 M ,使 MA ? 2 MO ,求圆心 C 的横坐 标 a 的取值范围. O

y A l

x

21

18. (本小题满分 16 分) 如图,游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径。一种是从 A 沿直线步行 到 C ,另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B ,然后从 B 沿直线步行到 C .现有甲、乙两 位游客从 A 处下山,甲沿 AC 匀速步行,速度为 50 m / min .在甲出发 2 min 后,乙从

A 乘缆车到 B ,在 B 处停留 1 min 后,再从匀速步行到 C .假设缆车匀速直线运动的 3 12 速度为 130 m / min ,山路 AC 长为 1260 m ,经测量, cos A ? , cos C ? . 5 13 (1)求索道 AB 的长;
(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短? (3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟, 乙步行的速度应控制在什么范围内? 1250 625 故乙步行的速度应控制在[ , ]范围内. 43 14 C M B D N

A

19. (本小题满分 16 分) 设 {an } 是首项为 a ,公差为 d 的等差数列 (d ? 0) , Sn 是其前 n 项和.记 bn ?

nS n , n2 ? c

n ? N * ,其中 c 为实数.
2 * (1)若 c ? 0 ,且 b1,b2,b4 成等比数列,证明: Snk ? n Sk ( k , n ? N ) ;

(2)若 {bn } 是等差数列,证明: c ? 0 .

22

20. (本小题满分 16 分) 设函数 f ( x) ? ln x ? ax , g ( x) ? e x ? ax ,其中 a 为实数. (1)若 f ( x) 在 (1,??) 上是单调减函数,且 g ( x) 在 (1,??) 上有最小值,求 a 的取值范围; (2)若 g ( x) 在 (?1,??) 上是单调增函数,试求 f ( x) 的零点个数,并证明你的结论.

1. π

2.

5

3. y ? ?

3 x 4. 8 4
12.

5. 3

6. 2 7.

20 63

8.

1:24

9.

1 [—2, ] 2

10.

1 2

11.(﹣5,0) ∪(5,﹢∞)

3 3

13. 1 或 10

14. 12

15. 解: (1)a-b=(cosα-cosβ,sinα-sinβ), |a-b|2 =(cosα-cosβ)2 +(sinα-sinβ)2 =2-2(cosα·cosβ+sinα·sinβ)=2, 所以,cosα·cosβ+sinα·sinβ=0, 所以, a ? b . (2) ?

? cos? ? cos ? ? 0 ?sin ? ? sin ? ? 1

① 1 2 2 ,① +② 得:cos(α-β)=- . 2 ②

所以,α-β=

2 2 ? ,α= ? +β, 3 3 2 ? 3 1 ? +β)+sinβ= cosβ+ sinβ=sin( +β)=1, 2 3 3 2

带入②得:sin( 所以,

? ? +β= . 3 2 ? 5? 所以,α= ,β= . 6 6
23

16. 证: (1)因为 SA =AB 且 AF ⊥SB , 所以 F 为 SB 的中点. 又 E ,G 分别为 SA ,SC 的中点, 所以,EF ∥AB ,EG∥AC. 又 AB ∩AC=A ,AB ? 面 SBC,AC ? 面 ABC, 所以,*面 EFG // *面 ABC . (2)因为*面 SAB ⊥*面 SBC,*面 SAB ∩*面 SBC=BC, AF ? *面 ASB ,AF ⊥SB . 所以,AF ⊥*面 SBC. 又 BC ? *面 SBC, 所以,AF ⊥BC. 又 AB ⊥BC,AF ∩AB =A , 所以,BC⊥*面 SAB . 又 SA ? *面 SAB , 所以, BC ? SA .

17. 解: (1)联立: ?

? y ? x ?1 ,得圆心为:C(3,2). y ? 2 x ? 4 ?

设切线为: y ? kx ? 3 ,

d=

| 3k ? 3 ? 2 | 1? k
2

3 ? r ? 1 ,得: k ? 0 or k ? ? . 4 or 3 y ? ? x?3. 4
x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 2 x 2 ? y 2 ,

故所求切线为: y ? 0

(2)设点 M(x,y),由 MA ? 2 MO ,知: 化简得: x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4 ,

即:点 M 的轨迹为以(0,1)为圆心,2 为半径的圆,可记为圆 D. 又因为点 M 在圆 C 上,故圆 C 圆 D 的关系为相交或相切. 故:1≤|CD|≤3,其中 CD ? 解之得:0≤a≤ 12 . 5

a 2 ? (2a ? 3) 2 .

18. 解: (1)如图作 BD⊥CA 于点 D, 设 BD=20k ,则 DC=25k ,AD=48k , AB =52k ,由 AC=63k =1260m, 知:AB =52k =1040m. (2)设乙出发 x 分钟后到达点 M, 此时甲到达 N 点,如图所示. 则:AM=130x,AN=50(x+2), 由余弦定理得:MN2 =AM2 +AN2 -2 AM·ANcosA =7400 x2 -14000 x+10000, 35 其中 0≤x≤8,当 x= (min)时,MN 最小,此时乙在缆车上与甲的距离最短. 37 1260 126 (3)由(1)知:BC=500m,甲到 C 用时: = (min). 50 5

24

126 141 若甲等乙 3 分钟,则乙到 C 用时: +3= 5 5 此时乙的速度最小,且为:500÷

86 (min),在 BC 上用时: 5

(min) .

86 1250 = m/min. 5 43 56 (min),在 BC 上用时: 5 (min) .

126 111 若乙等甲 3 分钟,则乙到 C 用时: -3= 5 5 此时乙的速度最大,且为:500÷

56 625 = m/min. 5 14

19. 证: (1)若 c ? 0 ,则 an ? a ? (n ? 1)d , S n ?
2 当 b1,b2,b4 成等比数列, b2 ? b1b4 ,

n[( n ? 1)d ? 2a ] (n ? 1) d ? 2a , bn ? . 2 2

即: ? a ?

? ?

d? 3d ? ? 2 ? ? a? a ? ? ,得: d ? 2ad ,又 d ? 0 ,故 d ? 2a . 2? 2 ? ?

2

由此: S n ? n 2 a , S nk ? (nk) 2 a ? n 2 k 2 a , n 2 S k ? n 2 k 2 a . 故: Snk ? n2 Sk ( k , n ? N * ) .

nS (2) bn ? 2 n ? n ?c

(n ? 1)d ? 2a 2 , 2 n ?c (n ? 1)d ? 2a (n ? 1)d ? 2a (n ? 1)d ? 2a n2 ?c ?c 2 2 2 ? n2 ? c (n ? 1)d ? 2a c (n ? 1)d ? 2a 2 . (※) ? ? 2 n2 ? c n2

若 {bn } 是等差数列,则 bn ? An ? Bn 型. 观察(※)式后一项,分子幂低于分母幂,

(n ? 1)d ? 2a (n ? 1)d ? 2a (n ? 1)d ? 2a 2 ? 0 ,而 故有: ≠0, ? 0 ,即 c 2 2 2 n ?c 故 c ? 0. c
经检验,当 c ? 0 时 {bn } 是等差数列. 20. 解: (1) f ?( x ) ? 故: a ≥1.

1 1 ? a ≤0 在 (1,??) 上恒成立,则 a ≥ , x x

x ? (1,? ?) .

g ?( x) ? e x ? a ,
若 1≤ a ≤e,则 g ?( x) ? e ? a ≥0 在 (1,??) 上恒成立,
x

此时, g ( x) ? e ? ax在 (1,??) 上是单调增函数,无最小值,不合;
x



a > e , 则 g ( x) ? e x ? ax 在 (1,ln a) 上 是 单 调 减 函 数 , 在 (ln a,? ?) 上 是 单 调 增 函 数 ,

g min ( x) ? g (lna) ,满足.
25

故 a 的取值范围为: a >e. (2) g ?( x) ? e x ? a ≥0 在 (?1,??) 上恒成立,则 a ≤e ,
x

故: a ≤

1 . e

f ?( x) ?

1 1 ? ax ?a ? x x

( x ? 0) .

(ⅰ)若 0< a ≤

1 1 ,令 f ?( x) >0 得增区间为(0, ); e a

1 令 f ?( x) <0 得减区间为( ,﹢∞). a 当 x→0 时,f (x)→﹣∞;当 x→﹢∞时,f (x)→﹣∞; 1 1 1 当 x= 时,f( )=﹣lna-1≥0,当且仅当 a = 时取等号. a a e 故:当 a = 1 1 时,f (x)有 1 个零点;当 0< a < 时,f (x)有 2 个零点. e e

(ⅱ)若 a=0,则 f (x)=﹣lnx,易得 f (x)有 1 个零点. (ⅲ)若 a<0,则 f ?( x ) ?

1 ? a ? 0 在 (0,? ?) 上恒成立, x

即: f ( x) ? ln x ? ax 在 (0,? ?) 上是单调增函数, 当 x→0 时,f (x)→﹣∞;当 x→﹢∞时,f (x)→﹢∞. 此时,f (x)有 1 个零点. 综上所述:当 a = 1 1 或 a<0 时,f (x)有 1 个零点;当 0< a < 时,f (x)有 2 个零点. e e

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