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最*公共祖先(LCA,Tarjan)

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一定要耐心慢慢看


Tarjan算法的优点在于相对稳定,时间复杂度也比较居中,也很容易理解。


    下面详细介绍一下Tarjan算法的基本思路:


      1.任选一个点为根节点,从根节点开始。


      2.遍历该点u所有子节点v,并标记这些子节点v已被访问过。


      3.若是v还有子节点,返回2,否则下一步。


      4.合并v到u上。


      5.寻找与当前点u有询问关系的点v。


      6.若是v已经被访问过了,则可以确认u和v的最*公共祖先为v被合并到的父亲节点a。


    遍历的话需要用到dfs来遍历(我相信来看的人都懂吧...),至于合并,最优化的方式就是利用并查集来合并两个节点。


伪代码?


Tarjan(u)//marge和find为并查集合并函数和查找函数
{
for each(u,v) //访问所有u子节点v
{
Tarjan(v); //继续往下遍历
marge(u,v); //合并v到u上
标记v被访问过;
}
for each(u,e) //访问所有和u有询问关系的e
{
如果e被访问过;
u,e的最*公共祖先为find(e);
}
}

?


假设我们有一组数据 9个节点 8条边 联通情况如下:


    1--2,1--3,2--4,2--5,3--6,5--7,5--8,7--9 即下图所示的树


    设我们要查找最*公共祖先的点为9--8,4--6,7--5,5--3;


   设f[]数组为并查集的父亲节点数组,初始化f[i]=i,vis[]数组为是否访问过的数组,初始为0; 


    下面开始模拟过程:


    取1为根节点往下搜索发现有两个儿子2和3;


    先搜2,发现2有两个儿子4和5,先搜索4,发现4没有子节点,则寻找与其有关系的点;


    发现6与4有关系,但是vis[6]=0,即6还没被搜过,所以不操作


    发现没有和4有询问关系的点了,返回此前一次搜索,更新vis[4]=1


    


    表示4已经被搜完,更新f[4]=2,继续搜5,发现5有两个儿子7和8;


    先搜7,发现7有一个子节点9,搜索9,发现没有子节点,寻找与其有关系的点;


    发现8和9有关系,但是vis[8]=0,即8没被搜到过,所以不操作;


    发现没有和9有询问关系的点了,返回此前一次搜索,更新vis[9]=1


    表示9已经被搜完,更新f[9]=7,发现7没有没被搜过的子节点了,寻找与其有关系的点;


    发现5和7有关系,但是vis[5]=0,所以不操作


    发现没有和7有关系的点了,返回此前一次搜索,更新vis[7]=1


    


    表示7已经被搜完,更新f[7]=5,继续搜8,发现8没有子节点,则寻找与其有关系的点;


    发现9与8有关系,此时vis[9]=1,则他们的最*公共祖先find(9)=5


      (find(9)的顺序为f[9]=7-->f[7]=5-->f[5]=5 return 5;)


    发现没有与8有关系的点了,返回此前一次搜索,更新vis[8]=1


?


    表示8已经被搜完,更新f[8]=5,发现5没有没搜过的子节点了,寻找与其有关系的点;


    


    发现7和5有关系,此时vis[7]=1,所以他们的最*公共祖先find(7)=5


      (find(7)的顺序为f[7]=5-->f[5]=5 return 5;)


    又发现5和3有关系,但是vis[3]=0,所以不操作,此时5的子节点全部搜完了;


    返回此前一次搜索,更新vis[5]=1,表示5已经被搜完,更新f[5]=2


    发现2没有未被搜完的子节点,寻找与其有关系的点;


    又发现没有和2有关系的点,则此前一次搜索,更新vis[2]=1


    


    表示2已经被搜完,更新f[2]=1,继续搜3,发现3有一个子节点6;


    搜索6,发现6没有子节点,则寻找与6有关系的点,发现4和6有关系;


    此时vis[4]=1,所以它们的最*公共祖先find(4)=1;


      (find(4)的顺序为f[4]=2-->f[2]=1-->f[1]=1 return 1;)


    发现没有与6有关系的点了,返回此前一次搜索,更新vis[6]=1,表示6已经被搜完了;


    


    更新f[6]=3,发现3没有没被搜过的子节点了,则寻找与3有关系的点;


    发现5和3有关系,此时vis[5]=1,则它们的最*公共祖先find(5)=1


      (find(5)的顺序为f[5]=2-->f[2]=1-->f[1]=1 return 1;)


    发现没有和3有关系的点了,返回此前一次搜索,更新vis[3]=1


    


    更新f[3]=1,发现1没有被搜过的子节点也没有有关系的点,此时可以退出整个dfs了。


    经过这次dfs我们得出了所有的答案,有没有觉得很神奇呢?是否对Tarjan算法有更深层次的理解了呢?


?以上转载:https://www.cnblogs.com/JVxie/p/4854719.html?(很易懂)


模板*题



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